Vanwege de coronamaatregelen kan de onderwijsvorm of tentaminering afwijken. Zie voor actuele informatie de betreffende cursuspagina’s op Brightspace.

Studiegids

nl en

Complexe functietheorie (Analyse 4)

Vak
2021-2022

Verplichte Voorkennis

Analyse 1 en 2; uniforme convergentie en reele machtreeksen.

Beschrijving

In dit college wordt de theorie van analytische functies geintroduceerd. Een analytische functie is een complexwaardige functie, gedefinieerd op (een open deel van) het complexe vlak, die op zijn domein differentieerbaar is. In tegenstelling tot het reele geval is differentieerbaarheid voor complexwaardige functies een zware eis. Centraal in het college staat de Cauchy-integraalrepresentatie van analytische functies. Deze representatie drukt de waarde van een analytische functie binnen een cirkel uit in waarden op deze cirkel. De representatie stelt ons in staat om een groot aantal eigenschappen van analytische functies af te leiden. Onderwerpen die aan de orde komen zijn: complexe differentieerbaarheid, Cauchy-Riemann vergelijkingen, harmonische functies, conforme afbeeldingen, complexe contourintegratie, de Cauchy-integraalrepresentatie, complexe machtreeksen, nulpunten van analytische functies, classificatie van singulariteiten, Laurentreeksen, de residuencalculus, praktische technieken voor het bepalen van integralen, de open afbeeldingsstelling, het maximumprincipe, de stelling van Rouche.

Leerdoelen

de student raakt vertrouwd met de basisconcepten van de theorie voor analytische functies in 1 complexe variabele zoals vermeld in de vakomschrijving.

Verplichte literatuur

E. Freitag en R. Busam, Complex Analysis (2nd. ed.), Springer Verlag, 2009, softcover, ISBN 978-3-540-93982-5. Nota bene: dit is de tweede Engelstalige editie (er zijn ook Duitstalige edities). Dit boek is voor studenten via de MyCopy-optie in SpringerLink voor 25 euro verkrijgbaar en is via SpringerLink ook (zonder kosten) als PDF te verkrijgen. Deze PDF zal t.z.t. ook via Blackboard beschikbaar zijn.

Werkvorm

Twee uur hoorcollege, twee uur werkcollege.

Toetsing

Het eindcijfer bestaat uit huiswerk en een schriftelijk (her)-tentamen. Het huiswerk telt mee als praktische oefening en is niet herkansbaar. Er is geen minimum cijfer vereist voor het huiswerk om aan het tentamen deel te mogen nemen of om het vak te halen. Het eindcijer wordt bepaald door de formule max { tentamen _cijfer , 0.8*( tentamen_cijfer ) + 0.2*( huiswerk_cijfer ) } .

Brightspace

Alle vakinformatie zal op de brightspace pagina te vinden zijn.

Opmerkingen

Dit stof uit dit verplichte basisvak wordt algemeen gebruikt in de analyse. Daarbuiten heeft het belangrijke toepassingen in o.a. de meetkunde en getaltheorie: wie vakken als “Riemann surfaces”, “Analytic number theory” of “Elliptic curves” wil volgen doet er goed aan om thuis te zijn in de stof van Analyse 4.

Contact

H.J. Hupkes hhupkes[at]math.leidenuniv.nl