Toegangseisen
Studenten moeten het vak 'Inleiding Maattheorie' (4028INTMT3) of een cursus met vergelijkbare inhoud over de fundamentele concepten en resultaten van maat - en integratietheorie hebben voltooid. Bekendheid met de basisbegrippen uit de topologie van puntverzamelingen, metrische ruimten en genormeerde lineaire ruimten is noodzakelijk (bijv. via de cursus 'Linear Analysis'). Het boek van Cohn 'Measure Theory' (zie Literatuur) geeft voldoende achtergrondmateriaal voor de basis-maattheoretische kennis.
Beschrijving
De cursus begint met het introduceren en bestuderen van extra structuren op de verzameling van eindige maten. Bijvoorbeeld: zij vormen een convexe kegel die ingebed kan worden in een vectorruimte: de getekende maten. Dit is een partieel geordende vectorruimte met een bijbehorende natuurlijke norm. De partiele ordening relateert aan de zogenaamde Hahn-Jordan decompositie van getekende maten. Absolute continuiteit van maten en de Stelling van Radon-Nikodym worden besproken.
De kern van de cursus bestaat uit de bestudereing van Borel-maten op topologische ruimten, voornamelijk locaal compact en Hausdorff of volledige separabele metrische ruimten (i.e. Poolse ruimten). Verscheidene regulariteitsbegrippen voor (getekende) maten worden geintroduceerd en aan elkaar gerelateerd. Daniell integralen worden geintroduceerd en hun representatie middels maten zal worden bewezen. Een meer specifiek voorbeeld zal worden besproken, de Riesz Representatie Stelling. Deze identificeert de duale ruimte van de continue functies op een locaal compacte Hausdorff ruimte die verdwijnen in oneindig met de klasse van getekende Radon-maten.
Het bestuderen van Borel-maten op niet-locaal compacte ruimten leidt tot verscheidene wiskundige complicaties. In de cursus leggen wij de aandacht op Poolse ruimten, welke veelvuldig voorkomen in Analyse en Kansrekening. Wij bespreken zwakke convergentie van maten en de daaraan gerelateerde Dudley metriek, die gedefinieerd is door een norm op de getekende maten. Deze introduceert een zwakkere norm (en topologie) dan die gerelateerd aan de partiele ordening. Het is een bijzonder nuttig concept, bijv. in Kansrekening. Belangrijk is ook het bijbehorende resultaat dat relatief compacte deelverzamelingen karakteriseert: de Stelling van Prokhorov en het begrip 'uniform tightness'.
De topologische structuur maakthet mogelijk dynamica in ruimten van maten te beschouwen. Wij zullen voorbeelden daarvan geven die gedefinieerd worden door zogenoemde Markov-operatoren. Belangrijke concepten zijn: invariante (kans-)maten, het bestaan daarvan (Stelling van Krylov-Bogolyubov) en mogelijke uniciteit en stabiliteit.
Leerdoelen
De cursus introduceert studenten in de meer geavanceerde onderwerpen in de maat- en integratietheorie, zoals normen en zwakke topologieen op de vectorruimte van getekende maten. De rol van ordeningsstructuren wordt belicht, i.h.b. die van zogenaamde Riesz ruimten of vectorroosters. Inzicht in deze concepten maakt het haar/hem mogelijk om toepassingen in Dynamische Systeem Theorie of Markov processen te bestuderen. De cursus geeft een goed startpunt voor verdere studie, ofwel in de richting Analyse (bijv. vergelijkingen in ruimte van maten) of Kansrekening (bijv. Markov-processen).
Rooster
In MyTimetable kun je alle vak- en opleidingsroosters vinden, waarmee jij je persoonlijke rooster kunt samenstellen. Onderwijsactiviteiten waarvoor je je via MyStudyMap hebt ingeschreven, worden automatisch in je rooster getoond.
Daarnaast kun je My Timetable gemakkelijk koppelen aan een agenda-app op je telefoon en worden roosterwijzigingen automatisch in je agenda doorgevoerd; bovendien ontvang je desgewenst per e-mail een notificatie van de wijziging. Je kunt notificaties aanzetten bij Instellingen, nadat je bent ingelogd.
Vragen? Bekijk de video, lees de instructie of neem contact op met de ISSC helpdesk.
Let op: Joint Degree studenten Leiden/Delft dienen de informatie uit de Leidse en Delftse MyTimetables samen te voegen om een volledig rooster te zien. Deze video legt uit hoe dat werkt.
Onderwijsvorm
Hoorcolleges (2 collegeuren per week)
Drie sets met thuis te maken opgaven, georganiseerd naar onderwerp dat besproken is.
Toetsing en weging
Het eindcijfer (zonder hertentamen) wordt vastgesteld op basis van gewogen gemiddelde van twee onderdelen: (1) drie 'huiswerk'-sets met individueel te maken opgaven (praktische oefeningen, gelijk gewogen gemiddelde); (2) schriftelijk tentamen.
Voor iedere 'huiswerk'-set wordt een nabesprekingen georganiseerd. Studenten worden tevoren gevraagd hun antwoord(en) te presenteren en bespreken, zodat onderling geleerd kan worden van de wijze van aanpak de vraagstukken en algehele feedback gegeven kan worden. Aanwezigheid en actieve deelname bij minstens 2 van de 3 bijeenkomsten laat het gemiddelde van de huiswerkopdrachten tellen voor 25%, anders 10%. Het eindcijfer bestaat dan verder uit 75% (resp. 90%) de uitslag van het schriftelijk tentamen.
Een hertentamen vind plaats middels een mondeling examen over een tevoren opgegeven selectie van de stof. Het eindcijfer voor de cursus gebaseerd op een hertentamen is het cijfer voor dit hertentamen (100%)
Literatuurlijst
De cursus combineert welbekende resultaten met resultaten die in recent onderzoek in dit veld bekend zijn geworden. Daarom is er niet een enkel boek dat al het matriaal bevat en dat gebruikt kan worden voor de cursus. In plaats daarvan is er een gedetailleerde syllabus met collegemateriaal en referenties (Engelstalig). Aanbevolen boeken (maar niet verplicht):
Over basisbegrippen uit de maat- en integratietheorie: Donald L. Cohn, Measure Theory ISBN: 978-1-4614-6955-1 (Print) 978-1-4614-6956-8 (Online) (beschikbaar als e-book via Leiden University Library).
Encyclopedisch, over onderwerpen uit de cursus en (veel) meer: V.I. Bogachev, Measure Theory, Volume 1 and 2, Berlin: Springer-Verlag, 2007
Zie overige referenties in de syllbus (beschikbaar via Brightspace).
Inschrijven
Als student ben je zelf verantwoordelijk voor het tijdig inschrijven via MyStudyMap.
In deze korte video zie je stap voor stap hoe je je kunt inschrijven voor cursussen in MyStudyMap.
Uitgebreide informatie over de werking van MyStudyMap vind je hier.
Er zijn twee inschrijfperiodes per jaar:
de inschrijving voor het najaar opent in juli
de inschrijving voor het voorjaar opent in december
Zie deze pagina voor meer informatie over deadlines en inschrijven voor vakken en tentamens.
Let op:
Het is verplicht om je in te schrijven voor alle activiteiten die je gaat volgen van een vak.
Je inschrijving is pas voltooid wanneer je je cursusplanning indient in het tabblad ‘Klaar voor inschrijving’ door op ‘indienen’ te klikken.
Niet ingeschreven zijn voor een (her)tentamen betekent dat je niet mag deelnemen aan het (her)tentamen.
Contact
Docent: Dr. S.C. Hille (shille@math.leidenuniv.nl)
Onderwijsassistenten: zie de Brightspace-pagina's van de cursus.
Opmerkingen
Software
Vanaf collegejaar 2024/2025 werkt de faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen met het software distributieplatform Academic Software. Via het platform kun je toegang krijgen tot de software die je nodig hebt voor bepaalde vakken in je studie. Voor sommige software moet je laptop aan bepaalde systeemeisen voldoen. Dit staat aangegeven bij de software. Belangrijk is dat je de software installeert voor de start van het vak. Meer informatie over het laptopprofiel vind je op de studentenwebsite.