In dit college wordt de theorie van analytische functies geintroduceerd. Een analytische functie is een complexwaardige functie, gedefinieerd op (een open deel van)
het complexe vlak, die op zijn domein differentieerbaar is. In tegenstelling tot het reele geval is differentieerbaarheid voor complexwaardige functies een zware eis.
Centraal in het college staat de Cauchy-integraalrepresentatie van analytische functies. Deze representatie drukt de waarde van een analytische functie binnen een
cirkel uit in waarden op deze cirkel. De representatie stelt ons in staat om een groot aantal eigenschappen van analytische functies af te leiden.
Onderwerpen die aan de orde komen zijn: Cauchy-Riemann vergelijkingen, complexe afgeleide, conforme afbeeldingen, complexe contourintegratie, de
Cauchy-integraalrepresentatie, complexe machtreeksen, nulpunten van analytische functies, Laurentreeksen, de residuencalculus, praktische technieken voor het bepalen
van integralen, meromorfe functies, de open afbeeldingsstelling, het maximumprincipe, de stelling van Rouche, oneindige produkten van functies.
Voorkennis
Analyse 1 en 2; uniforme convergentie en reele machtreeksen.
Verplichte literatuur
R.E. Greene en S.G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, third edition, GSM 40.R, American Math. Society, 2006. ISBN-10: 0-8218-3962-4; ISBN-13: 978-0-8218-3962-1.
Werkvorm
Twee uur hoorcollege, twee uur werkcollege.
Tentaminering
Schriftelijk tentamen plus opdrachten.
Homepage
Blackboard. Aanmelden in Blackboard is verplicht.
Vervolg
Dit stof uit dit verplichte basisvak wordt algemeen gebruikt in de analyse. Daarbuiten heeft het belangrijke toepassingen in o.a. de meetkunde en getaltheorie: wie vakken als “Riemann surfaces”, “Analytic number theory” of “Elliptic curves” wil volgen doet er goed aan om thuis zijn in de stof van Analyse 4.
Links