Omschrijving
Het doel van dit college is het bestuderen van een aantal onderwerpen uit de algebra en meetkunde die voor de moderne natuurkunde van belang zijn.
In het eerste deel van het college gaan we in op een aantal algebraïsche structuren – groepen en algebra’s – die niet eerder in het curriculum aan de orde zijn geweest. Groepen spelen een belangrijke rol in o.a. de kwantumtheorie, met name bij de behandeling van symmetrieën. Bij de studie van continue symmetrieën stuiten we op Liegroepen: dit zijn groepen waarop ook analyse kan worden gedaan; zo is een bewerking als differentiëren op een Liegroep toegestaan. Een speciaal geval is de rotatiegroep in drie dimensies, de speciale orthogonale groep SO(3),. Een middel om deze groepen te bestuderen is door te kijken naar de infinitesimale transformaties. Deze vormen een Lie-algebra. De Lie-algebra van SO(3) is in feite al bekend uit de kwantummechanica: het is de vectorruimte voortgebracht door de impulsmomentoperatoren J1, J2, J3 met de commutator van twee operatoren als additionele structuur, die deze vectorruimte tot een algebra maakt. Een ander type algebra, een Cliffordalgebra, komt te voorschijn bij de Diractheorie van elektronen. Na de studie van groepen en algebra’s richten we onze aandacht op tensoren. We bestuderen transformatie-eigenschappen van tensoren onder een aantal transformatiegroepen en het begrip tensorproduct wordt behandeld. De theorie wordt toegepast op een wiskundige behandeling van de speciale relativiteitstheorie. Hier worden ook de metrische tensor en de Lorentzgroep ingevoerd. Het tweede deel van het college bevat een inleiding in de differentiaalmeetkunde. We besteden o.a. uitgebreid aandacht aan vectorvelden op variëteiten, het begrip kromming op variëteiten in meer dimensies en aan geodeten, die locaal de krommen van kortste lengte tussen twee punten zijn. De hierbij behandelde stof is voorkennis voor algemene relativiteitstheorie. We maken tevens een uitstapje naar de variatierekening en het Lagrangeformalisme uit de klassieke mechanica.
Literatuur
Wordt nog bekendgemaakt
Toetsing
Schriftelijk tentamen.
Onderwijsvorm
Onderwijsvorm: twee uur hoorcollege en twee uur werkcollege. Het tijdstip hiervan zal in overleg met de studenten worden vastgelegd.
Startbijeenkomst : woensdag 4 februari om 15:45 (de Sitterzaal)
Voorkennis
Analyse 1 en 2(NA), Lineaire Algebra 1 en 2(NA).
Studenten die een dubbele bachelor doen met Wiskunde ( door overlap met wiskundevakken) krijgen 4 EC in plaats van 6 EC.
Bij dit college wordt gebruik gemaakt van blackboard Wiskundige Methoden van de Natuurkunde, waar meer informatie is te vinden.