Omschrijving
In dit college wordt de theorie van analytische functies geintroduceerd. Een analytische functie is een complexwaardige functie, gedefinieerd op (een open deel van) het complexe vlak, die op zijn domein differentieerbaar is. In tegenstelling tot het reele geval is differentieerbaarheid voor complexwaardige functies een zware eis.
Centraal in het college staat de Cauchy-integraalrepresentatie van analytische functies. Deze representatie drukt de waarde van een analytische functie binnen een cirkel uit in waarden op deze cirkel. De representatie stelt ons in staat om een groot aantal eigenschappen van analytische functies af te leiden.
Onderwerpen die aan de orde komen zijn: complexe differentieerbaarheid, Cauchy-Riemann vergelijkingen, harmonische functies, conforme afbeeldingen, complexe contourintegratie, de Cauchy-integraalrepresentatie, complexe machtreeksen, nulpunten van analytische functies, classificatie van singulariteiten, Laurentreeksen, de residuencalculus, praktische technieken voor het bepalen van integralen, de open afbeeldingsstelling, het maximumprincipe, de stelling van Rouche.
Voorkennis
Analyse 1 en 2; uniforme convergentie en reele machtreeksen.
Verplichte literatuur
E. Freitag en R. Busam, Complex Analysis (2nd. ed.), Springer Verlag, 2009, softcover, ISBN 978-3-540-93982-5. Nota bene: dit is de tweede Engelstalige editie (er zijn ook Duitstalige edities). Dit boek is voor studenten via de MyCopy-optie in SpringerLink voor 25 euro verkrijgbaar en is via SpringerLink ook (zonder kosten) als PDF te verkrijgen. Deze PDF zal t.z.t. ook via Blackboard beschikbaar zijn.
Werkvorm
Twee uur hoorcollege, twee uur werkcollege.
Tentaminering
Schriftelijk tentamen plus opdrachten.
Homepage
Blackboard. Aanmelden in Blackboard is verplicht.
Vervolg
Dit stof uit dit verplichte basisvak wordt algemeen gebruikt in de analyse. Daarbuiten heeft het belangrijke toepassingen in o.a. de meetkunde en getaltheorie: wie vakken als “Riemann surfaces”, “Analytic number theory” of “Elliptic curves” wil volgen doet er goed aan om thuis te zijn in de stof van Analyse 4.
BELANGRIJK!!
Iedere Leidse student kan per academisch jaar eenmaal tentamen doen in dit vak, naar keuze in Leiden of in Delft, en naar keuze bij het eerste tentamen of bij het tweede (her)tentamen. Diegenen die in een academisch jaar minimaal een 6 als Leids huiswerkcijfer hebben kunnen in het betreffende academisch jaar zowel aan het eerste tentamen als aan het tweede (her)tentamen deelnemen, in beide gevallen naar keuze in Leiden of in Delft.
Vakcode TU Delft
TW2040