Omschrijving
De (reële, complexe,…) projectieve ruimte P(V) bij een (reële, complexe,…) vektorruimte V is de verzameling van lijnen in V door de oorsprong; indien V dimensie n+1 heeft zeggen we dat P(V) dimensie n heeft. P(V) heet projectieve lijn (resp. projectief vlak) indien n=1 (resp. n=2). Voor een n-dimensionale lineaire deelruimte U van V kan P(V) dan worden gezien als de disjunkte vereniging van een n-dimensionale affiene deelruimte ruimte W van V en de (n-1)-dimensionale projectieve ruimte P(U), en we kunnen P(U) beschouwen als verzameling van “oneindig verre punten” die aan W worden toegevoegd. Een projectief vlak blijkt een gewoon vlak uitgebreid met een oneindig verre lijn.
Veel van de lineaire structuur en bijbehorende meetkunde in V induceert structuur en meetkunde in P(V): lineaire deelruimten van V corresponderen met projectieve deelruimten van P(V); injectieve (!) lineaire afbeeldingen tussen vektorruimten corresponderen met zogenoemde projectieve transformaties tussen de bijbehorende projectieve ruimten; affiene deelruimten zijn door toevoeging van ‘oneindig verre punten’ uit te breiden tot projectieve deelruimten. Voor twee verschillende affiene lijnen in een gewoon vlak W geldt dan: de bijbehorende projectieve lijnen in het projectieve vlak P(V) snijden elkaar altijd in precies één punt. Gevolg hiervan is dat de projectieve versies van klassieke stellingen over lijnen uit de vlakke meetkunde (b.v. Pappos en Desargues) veel simpeler te formuleren zijn, omdat de bijzondere gevallen, veroorzaakt door parallelliteit, niet meer voorkomen.
Ook kwadratische krommen, ofwel kegelsneden, in een gewoon vlak W breiden uit naar P(V), en we zullen onder meer zien dat ellips, parabool en hyperbool projectief gezien hetzelfde zijn! Algemener zullen we kwadrieken, ofwel kwadratische hyperoppervlakken, in algemene projectieve ruimten introduceren, en i.h.b. de meetkunde van kwadrieken in een 3-dimensionale complexe projectieve ruimte bestuderen.
Tenslotte zullen we de meetkunde van de verzameling G(2,V) van projectieve lijnen in een 3-dimensionale complexe projectieve ruimte P(V) bestuderen. G(2,V) kan worden geïdentificeerd met een kwadriek in een 5-dimensionale projectieve ruimte P5, en de hierdoor geïnduceerde meetkunde in G(2,V) hangt nauw samen met de meetkunde van speciale lijnenconfiguraties in P(V). Een typische vraag die we willen beantwoorden is als volgt: Laat H een projectief vlak in P5 zijn dat geheel bevat is in de kwadriek G(2,V) in P5. Met wat voor een 2-dimensionale configuratie van lijnen in P(V) correspondeert H dan? We zullen zien dat er precies twee types van zulke configuraties zijn; één daarvan is de verzameling van alle lijnen in een vast vlak in P(V), het andere de verzameling van alle lijnen door een vast punt in P(V).
Voorkennis
Lineaire algebra 1 en 2
Tentamen
Huiswerk (1/3) en schriftelijk tentamen (2/3)
Literatuur
Collegedictaat, te downloaden