Omschrijving
Zij V een reële of complexe vectorruimte van dimensie n. Een natuurlijke vraag is die naar de verzameling G(k,n) der k-dimensionale lineaire deelruimtes van V, welke Grassmann-variëteiten worden genoemd. Voor k=0 of k>n-1 is deze vraag snel te beantwoorden. Maar hoe zit het met 0< k < n ?
Het blijkt via een wandeling langs de zgn. uitwendige machten van V dat van fundamenteel belang is de situatie met k=1. Tijdens het college zal duidelijk worden dat de wereld der 1-dimensionale deelruimtes van vectorruimtes, de
zgn. ‘projectieve ruimtes’, bijzonder rijk is aan fraaie eigenschappen en meetkundige schoonheid. Het zal blijken dat de Grassmann-variëteiten G(k,n) altijd deelverzamelingen zijn van een projectieve ruimte, namelijk de projectieve van de k-de uitwendige macht van de onderliggende vectorruimte.
Met name de G(2,4) zal een kroonjuweel blijken te zijn welke het mogelijk maakt voor je eigen ogen te zien hoe vlakken en lijnen in een 4-dimensionaal hyperoppervlak in een 5-dimensionale projectieve ruimte elkaar snijden en nog veel meer …
Dit vak is ‘anders dan anders’ en kan interessant zijn om verschillende redenen: - Voor wie het voortgezet onderwijs in gaat, is dit vak onmisbaar door zijn directe verband met de affiene meetkunde van lijnen, parabolen, cirkels, ellipsen en hyperbolen in het reële platte vlak. - Voor studenten die verder zullen gaan in de algebraïsche meetkunde is projectieve meetkunde vrijwel onmisbaar. Allerlei algebraïsch meetkundige structuren blijken telkens weer ingebed te liggen in projectieve ruimtes. Vertrouwdheid met dit onderwerp is dan van groot voordeel. - En als je door bovenstaande argumenten nog niet ‘gegrepen’ bent, dan wellicht door het feit dat je bij dit vak kennis zult maken met een soort schoonheid die je bij andere vakken niet snel zult tegenkomen en bovendien is onze universiteit vrijwel de enige in Nederland die dit vak in deze vorm verzorgt.
Het vak wordt gegeven in de vorm van een hoorcollege en een werkgroep zonder meetellend huiswerk.
Tentamen
Schriftelijk