Verplichte voorkennis
tudenten moeten het vak 'Inleiding Maattheorie' (4028INTMT3) een cursus met vergelijkbare inhoud over de fundamentele concepten en resultaten van maat - en integratietheorie hebben voltooid. Bekendheid met de basisbegrippen uit de topologie van puntverzamelingen, metrische ruimten en genormeerde lineaire ruimten is noodzakelijk (bijv. via de cursus 'Linear Analysis'). Het boek van Cohn 'Measure Theory' (zie Literatuur) geeft voldoende achtergrondmateriaal voor de basis-maattheoretische kennis.
Beschrijving
De cursus begint met het introduceren en bestuderen van extra structuren op de verzameling van eindige maten. Bijvoorbeeld: zij vormen een convexe kegel die ingebed kan worden in een vectorruimte: de getekende maten. Dit is een partieel geordende vectorruimte met een bijbehorende natuurlijke norm. De partiele ordening relateert aan de zogenaamde Hahn-Jordan decompositie van getekende maten. Absolute continuiteit van maten en de Stelling van Radon-Nikodym worden besproken.
De kern van de cursus bestaat uit de bestudereing van Borel-maten op topologische ruimten, voornamelijk locaal compact en Hausdorff of volledige separabele metrische ruimten (i.e. Poolse ruimten). Verscheidene regulariteitsbegrippen voor (getekende) maten worden geintroduceerd en aan elkaar gerelateerd. De Riesz Representatie Stelling zal worden bewezen. Deze identificeert de duale ruimte van de continue functies op een locaal compacte Hausdorff ruimte die verdwijnen in oneindig met de klasse van getekende Radon-maten.
Het bestuderen van Borel-maten op niet-locaal compacte ruimten leidt tot verscheidene wiskundige complicaties. In de cursus leggen wij de aandacht op Poolse ruimten, welke veelvuldig voorkomen in Analyse en Kansrekening. Wij bespreken zwakke convergentie van maten en de daaraan gerelateerde Dudley metriek, die gedefinieerd is door een norm op de getekende maten. Deze introduceert een zwakkere norm (en topologie) dan die gerelateerd aan de partiele ordening. Het is een bijzonder nuttig concept, bijv. in Kansrekening. Belangrijk is ook het bijbehorende resultaat dat relatief compacte deelverzamelingen karakteriseert: de Stelling van Prokhorov en het begrip 'uniform tightness'.
De topologische structuur maakthet mogelijk dynamica in ruimten van maten te beschouwen. Wij zullen voorbeelden daarvan geven die gedefinieerd worden door zogenoemde Markov-operatoren. Belangrijke concepten zijn: invariante (kans-)maten, het bestaan daarvan (Stelling van Krylov-Bogolyubov) en mogelijke uniciteit en stabiliteit.
Leerdoelen
De cursus introduceert studenten in de meer geavacneerde onderweroen in de maat- en integratietheorie, zoals normen en zwake topologieen op de vectorruimte van getekende maten. Inzicht in deze concepten maakt het haar/hem mogelijk om toepassingen in Dynamische Systeem Theorie of Markov processen te bestuderen. De cursus geeft een goed startpunt voor verdere studie, ofwel in de richting Analyse (bijv. vergelijkingen in ruimte van maten) of Kansrekening (bijv. Markov-processen).
Onderwijsvorm
Hoorcolleges (2 collegeuren per week)
Drie sets met thuis te maken opgaven, georganiseerd naar onderwerp dat besproken is.
Toetsing
1) drie 'huiswerk'-sets met individueel te maken opgaven (praktische oefeingen, gelijk gewogen gemiddelde; 25%); (2) schriftelijk tentamen (75%)
Een hertentamen vind plaats middels een mondeling examen over een opgegeven selectie van de stof.
Literatuur
De cursus combineert welbekende resultaten met resultaten die in recent onderzoek in dit veld bekend zijn geworden. Daarom is er niet een enkel boek dat al het matriaal bevat en dat gebruikt kan worden voor de cursus. In plaats daarvan is er een gedetailleerde syllabus met collegemateriaal en referenties (Engelstalig). Aanbevolen boeken (maar niet verplicht):
Over basisbegrippen uit de maat- en integratietheorie: Donald L. Cohn, Measure Theory ISBN: 978-1-4614-6955-1 (Print) 978-1-4614-6956-8 (Online) (beschikbaar als e-book via Leiden University Library).
Encyclopedisch, over onderwerpen uit de cursus en (veel) meer: V.I. Bogachev, Measure Theory, Volume 1 and 2, Berlin: Springer-Verlag, 2007
Zie overige referenties in de syllbus (beschikbaar via Brightspace).
Inschrijving
Inschrijving via Usis
Contact
Docent: Dr. S.C. Hille (shille@math.leidenuniv.nl)
Onderwijsassistenten: zie de Brightspace-pagina's van de cursus.